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文档内容摘要
ppt " "参数的点估计(方法):指用样本统计量的值估计未知参数的值。" "本章介绍 :1)矩估计法;2)极大似然估计法。" "§7.1参数的点估计" "问题:若总体X的分布函数F(x)的类型已知,但它的一个或多个参数未知,如何估计总体的未知参数? 想法:用X的一组样本观察值(x1,x2,…,xn)来估计总体中未知参数的值,即用样本统计量的值估计总体中未知参数的值。" "第七章 参数估计" "mk= E(Xk)" "ck= E[X-E(X)]k" " 总体矩 总体矩的估计值 样本矩 " "=" "=" "显然" "通常取" "理论根据:格利文科定理。Fn(X) 以概率1收敛于F(X),可以证明, 只要总体的l阶矩存在,样本的l阶矩依概率1收敛于总体的l阶矩。" "一、矩估计法" "矩估计法:是用样本矩估计相应的总体矩,用样本矩函数估计总 体矩的同一函数的一种估计方法。" "解得θ1,θ2的矩估计量为: " "解:由于 " "据矩估计法有" "例1.设总体X~N(μ,σ2 ),试求μ,σ2的矩估计量。" "解:由于 E(X)= μ, D(X)= σ2, 据矩估计法有" "解得μ,σ2 的矩计量分别为:" "即:" "即:" "例2.设总体X~U[θ1,θ2] ,试求θ1,θ2的矩估计量。" "试求θ的矩估计量。" "解:由于 E(X)=θ, " "根据矩估计法:" "(k=0,1,2…;0<θ<+∞)" "又由于 D(X)=θ" "故可得θ的另一个矩估计量为" "由此可见一个参数的矩估计量是不唯一的。" "例3.设总体X服从参数为θ的泊松分布,即" " 极大似然估计法是求估计值的另一种方法,最早由高斯(R.A,Gauss) 提出,后来为费史(Fisher)在1912年重新提出,并证明该方法的一些性质. 它是建立在极大似然原理基础上的一个统计方法. 极大似然原理:一个随机试验有若干种可能的结果A,B, C,….若在一次试验中,结果A出现,则一般认为试验条件对 A出现有利,也即A出现的概率很大." " 引例.设有外形完全相同的两个箱子,甲箱有99个白球1个黑球, 乙箱有1个白球99个黑球,今随机地取出一箱,再从取出的一箱中 抽取一球,结果取得白球,问这球是从哪一个箱子中取出的?" "解:甲箱中抽得白球的概率P(白|甲)=99/100" "乙箱中抽得白球的概率P(白|乙)=1/100" " 白球从甲箱中抽出的概率比从乙箱中抽出的概率大得多,根据极大似然原理,既然在一次抽样中抽得白球,当然可以认为是从抽取概率大的箱子中抽出的,所以,可作出统计推断:白球是从甲箱中抽出的." "二、 极大似然估计法(Fisher)" " 设总体X的概率密度函数为 f(x;θ),(若X是离散型, f(x;θ) 是分布律),则样本(x1,…,xn )的联合密度函数为: " "2、求极大似然估计步骤" "这是参数θ的函数,称为样本的似然函数,记为L(θ)。使似然函数取得最大值的 称为 θ的极大似然估计量。这种方法称为极大似然估计法。" " (1)写出似然函数" " 特别地,若θ的取值范围为开集时,可转化为求L(x,θ)的驻点. 取对数lnL,求lnL关于未知参数θ的导数。由导数等于零解得θ的估计值" "(2) 求出使L(x;θ)达到最大值的" "1、极大似然估计法" "二、 极大似然估计法(Fisher)" "解:设x1,…,xn为样本的一组观测值,于是似然函数为:" "两边取对数得," "对λ求导数,并使其等于0得," "解这一方程得λ的极大似然估计为:" "比如,样本观测值为:10,13,65,18,79,42,65,77,88,123,n=10。则," "例4.X~P(λ),求λ极大似然估计。" "例6.设X~N(μ,σ2),求μ,σ2的极大似然估计。" "得μ,σ2的极大似然估计值为:" "则" "由" "例5.X服从参数为λ的指数分布,求λ的极大似然估计。" "解:似然函数L(x1,…,xn;μ,σ2)" "解:似然函数为 " "例7.设总体X具有[0,θ] 均匀分布,密度函数为:" "求未知参数θ的极大似然估计。" "解:设x1,…, xn是取自这一总体的一个样本,似然函数为:" "显然L是θ的一个单值递减函数。" "每一个xi ( i=1,2,3 …,n),所以θ的极大似然估计量为:" "对同一个参数用不同的方法得到的估计量可能不相同," "[问题]:选哪一个估计的结果更好呢?有没有评价估计量好坏的标准?" " 1 . 一致性" " 2 . 无偏性" " 一般情况 ,但希望n→∞时, 。这就是说当样本容量n无限增大时,估计值 非常接近真值的概率趋近于1" "一致估计是对极限性质而言的,它只在样本容量较大时才起作用。" " 一个好的估计量的数值应该在参数的真值周围摆动,也就是估计的期望值与未知参数的真值相等。" "定义1 设" "三、估计量的评选标准" "为未知参数θ的估计量," "即样本的二阶中心距,不是总体方差的无偏估计." "证明:" "而" "故" ",即S2为σ2的无偏估计量。" "例8.试证样本均值 及样本方差S2分别是总体均值μ及总体方差σ2的无偏估计。" "若在θ的一切无偏估计中, 的方差最小,则称 为θ的最小方差无偏估计量。" "3. 有效性" " 对总体的某一参数的无偏估计量往往不止一个,而且无偏仅仅表明 所有可能取的值按概率平均等于θ,有可能它取的值大部分与θ相差很大.为保证 的取值能集中于θ附近,自然要求 的方差越小越好。" "定义3" "结束" "例9 比较总体期望 的两个无偏估计的有效性(设方差为 ). (1) ; (2) ." "解:" "利用初等不等式, " "得" "故 比 有效." "" "结束" "作业: 139页 3, 5, 7